Алгебра, Генов, Миховски, Моллов 2006
Сумата се прибавя директно в кошницата
8.74 €
За повече информация: order@kopiebg.com
Съдържание
Глава 1. Основни алгебрични структури
§1. Множества, релации и изображения
1.1. Множества
1.2. Обединение и сечение на множества
1.3. Декартово произведение на множества
1.4. Релации в множества
1.5. Релации на еквивалентност
1.6. Изображения
Упражнения
§2. Кардинални числа и комбинаторика
2.1. Определение и основни свойства на кардиналните числа
2.2. Естествени числа
2.3. Математическа индукция
2.4. Изброими и неизброими множества
2.5. Комбинаторика
Упражнения
§3. Алгебрични операции и основни алгебрични структури. Подалгебри и морфизми
3.1. Алгебрични операции
3.2. Групоиди, полугрупи и моноиди
3.3. Групи
3.4. Асоциативни пръстени
3.5. Делители на нулата и обратими елементи
3.6. Тела и полета
3.7. Подалгебри и морфизми
Упражнения
§4. Пръстен от полиноми над комутативен пръстен с единица
4.1. Трансцендентни елементи
4.2. Полиноми над комутативен пръстен
Упражнения
§5. Поле от частни
5.1. Определение и теорема за съществуване на поле от частни
5.2. Единственост на полето от частни
Упражнения
Глава 2. Числови системи
§6. Пръстен на целите числа
6.1. Определение и теорема за съществуване на пръстен от цели числа
6.2. Единственост на пръстена на целите числа
6.3. Делимост на цели числа
6.4. Най-голям общ делител на цели числа
6.5. Най-малко общо кратно на цели числа
6.6. Прости числа 100
Упражнения 103
§7. Линейни наредби на числови полета 105
7.1. Наредени алгебрични структури 105
7.2. Наредба в пръстена на целите числа 108
7.3. Наредба в полето на рационалните числа 109
7.4. Определение и съществуване на поле от реални числа 112
Упражнения 115
§8. Комплексни числа 116
8.1. Определение, съществуване и единственост на полето на комплексните числа .. 116
8.2. Тригонометрична форма на комплексните числа 120
8.3. Степенуване и коренуване на комплексни числа 123
8.4. Корени на единицата 125
Упражнения 127
Глава 3. Елементи от теория на групите 129
§9. Групи 129
9.1. Еквивалентни определения за понятието група 129
9.2. Симетрични групи 130
9.3. Други примери за групи 136
Упражнения 140
§ 10. Подгрупи .143
10.1. Критерии за подгрупи 143
10.2. Циклични подгрупи 145
10.3. Циклични групи 148
10.4. Разлагане на група по нейна подгрупа 150
Упражнения 154
§11. Нормални подгрупи и хомоморфизми 156
11.1. Определение и критерии за нормална подгрупа 156
11.2. Фактор-групи 158
11.3. Хомоморфизми на групи 160
11.4. Основни теореми за изоморфизмите 162
11.5. Влагане на крайна група в симетрични групи 166
Упражнения 167
§12. Подгрупи на крайни групи 169
12.1. Действие на група върху множество 169
12.2. Теореми на Силов 173
Упражнения 177
§13. Директни произведения на групи 178
13.1. Външно директно произведение на групи 178
13.2. Разлагане на група в директно произведение на подгрупи 180
13.3. Други свойства на директните произведения на групи 183
13.4. Директни суми на адитивни абелеви групи 185
13.5. Полудиректни произведения на групи 186
Упражнения 190
§14. Крайно породени абелеви групи
14.1. Условия за цикличност на крайни абелеви групи
14.2. Строеж на крайно породените абелеви групи
14.3. Неразложими циклични групи
Упражнения
§15. Разрешими групи
15.1. Комутаторни подгрупи
15.2. Определение и основни свойства на разрешимите групи
15.3. Крайни разрешими групи
15.4. Разрешими симетрични групи
Упражнения
Глава 4. Елементи от теория на пръстените .. 209
§16. Подпръстени, идеали и фактор пръстени 209
16.1. Подпръстени 209
16.2. Идеали 210
16.3. Главни, прости и максимални идеали на комутативен пръстен 212
16.4. Фактор-пръстени 213
Упражнения 215
§17. Хомоморфизми на пръстени и основни теореми за изоморфизмите — 216
17.1. Хомоморфизми г'...216
17.2. Основни теореми за изоморфизъм на пръстени 218
Упражнения 220
§18. Директни суми на пръстени и идеали 221
18.1. Директни суми на пръстени 221
18.2. Някои основни свойства на директните суми 223
Упражнения 226
§19. Китайска теорема за остатъците 227
Упражнения 230
§20. Някои свойства на фактор-пръстена 2И 231
20.1. Обратими елементи в Ъп 23!
20.2. Основни свойства на функциятя на Ойлер 233
20.3. Директно и полудиректно произведение на 2Г* и 2(| 236
Упражнения 238
Глава 5. Полиноми и дроби на една променлива .239
§21. Най-голям общ делител на полиноми 239
21.1. Делимост на полиноми 239
21.2 Деление с непълно частно и остатък 240
21.3. Съществуване на най-голям обш делител 242
21.4. Свойства на взаимно простите полиноми 245
21.5. Алгоритъм на Евклид 246
Упражнения 249
§22. Корени на полиноми на една променлива 249
22.1. Схема на Хорнер
22.2. Равенство на полиноми
22.3. Производна на полиноми
22.4. Многокрани корени
Упражнения
§23. Полиноми с числови коефициенти
23.1. Основни следствия от теоремата на Даламбер
23.2. Корени на полиноми с цели коефициенти
23.3. Корени на полиноми с реални коефициенти
Упражнения
§24. Неразложмост на полиноми
24.1. Неразложимост на полиноми над К и С
24.2. Неразложимост на полиноми над полето 0,
24.3. Канонично разлагане на полиноми над произволно поле
Упражнения
§25. Съществуване на корени на полиноми
25.1. Съществуване на поле на разлагане
25.2. Съществуване на общи корени на полиноми
25.3. Резултанта на полиноми
25.4. Дискриминанта на полиноми
Упражнения
§26. Представяне на рационални функции с елементарни дроби
26.1. Правилни рационални дроби
26.2. Разлагане на елементарни дроби
26.3. Разлагане на елементарни дроби над С иК
Упражнения
§27. Алгебрично решаване на уравнения
27.1. Решимост на уравнения с радикали
27.2. Уравнения от трета степен
27.3. Уравнения от четвърта степен
27.4. Исторически бележки
27.5. Реципрочни уравнения
27.6. Биномни уравнения
Упражнения
Глава 6. Комутативни пръстени с еднозначна разложимост на прости множители
§28. Делимост в комутативни пръстени
28.1. Елементарни свойства на делимостта
28.2. Евклидови пръстени
§29. Най-голям общ делител в област на главни идеали
29.1. Област на главни идеали
29.2. Крайно породени идеали
29.3. НОД в област на главни идеали
29.4. Основни теореми за делимост
§30. Аритметика в област на главни идеали
30.1. Прости елементи в област на главни идеали 317
30.2. Основна теорема на аритметиката в област на главни идеали 3!9
§31.Факториални пръстени 320
31.1. Определение и критерий за факториален пръстен 320
31.2. НОД във факториален пръстен 323
31.3. Факториални пръстени от полиноми 324
31.4. Критерии за неразложимост на полиноми над факториален пръстен 328
Упражнения 329
Глава 7. Полиноми на повече променливи 331
§32. Определение и някои свойства на полиномите на повече променливи над комутативен пръстен 331
32.1. Определение на пръстена К[х!,х2,...,хп] 331
32.2. Равенство на полиноми на няколко променливи 332
32.3. Лексикографска наредба 335
Упражнения 337
§33. Симетрични полиноми 338
33.1. Прости симетрични полиноми 338
33.2. Изразяване на симетрични полиноми чрез елементарните симетрични
полиноми 340
33.3. Някои обобщения .? 346
33.4. Степенни сборове 347
Упражнения 350
§34. Антисиметрични полиноми 352
Упражнения 354
§35. Нелинейни алгебрични системи от уравнения 355
35.1. Решаване на нелинейни системи с помощта на резултанти 355
35.2. Решаване на системи с помощта на симетрични и антисиметрични
полиноми 357
Упражнения 359
Глава 8. Елементи от теория на полетата 361
§36. Подполета и разширения на полета 361
36.1. Подполета 361
36.2. Прости подполета 361
36.3. Разширение на поле 363
36.4. Крайни разширения 365
§37. Прости разширения на полета 367
37.1. Алгебрични и трансцендентни елементи 367
37.2. Просто разширение на поле. Прости трансцендентни разширения 369
37.3. Прости алгебрични разширения 370
37.4. Други свойства на простите алгебрични разширения 371
Упражнения 373
§38. Кръгови полиноми и кръгови полета 374
38.1. Кръгови полиноми 374
38.2. Неразложимост на кръговите полиноми 375
38.3. Кръгови полета 377
Упражнения 377
$39. Някои други видове алгебрични разширения на полета 378
39.1. Алгебрични и трансцендентни разширения 378
39.2. Крайно породени разширения на полета 379
39.3. Алгебрично разширение на поле 382
39.4. Гюле на разлагане на даден полином 383
39.5. Крайни полета 385
39.6. Теорема за примитивния елемент 387
39.7. Квадратични разширения 389
39.8. Квадратични радикални разширения 390
Упражнения 391
§40. Алгебрически затворени полета 391
40.1. Определение и основни свойства на алгебрически затворените полета ... .391
40.2. Доказателство на теоремата на Даламбер 394
40.3. Поле на алгебричните числа 398
40.4. Изброимост на полето на алгебричните числа 400
Упражнения 40!
§41. Решимост на задачи за построение с линия и пергел 402
41.1. Исторически бележки 402
41.2. Формулиране на проблема .' 404
41.3. Знаменити древногръцки задачи 410
41.4. Построимост на комплексни числа 412
41.5. Построимост на правилни /г-ъгълници 414
Упражнения 416
Глава 9. Жорданова нормална форма на матрици 417
§42. Еквивалентност на Я-матрици 417
42.1. Елементарни преобразувания на Л -матрици 417
42.2. Привеждане на Л -матрици в каноничен вид 419
42.3. Едмнственост на каноничния вид на Я-матрици 421
Упражнения 426
§43. Унимодулярни Я -матрици 427
43.1. Определение и основни свойства на унимодулярните Я -матрици 427
43.2. Елементарни Я-матрици 428
43.3. Друг критерий за еквивалентност на Я -матрици 429
Упражнения 431
§44. Основна теорема за подобие на числови матрици 431
44.1. Полиноми с матрични коефициенти 431
44.2. Критерий за подобие на числови матрици 434
Упражнения 439
§45. Жорданова нормална форма на матрици 439
45.1. Жорданови клетки и жорданови матрици 439
45.2. Канонизиране на жорданови характеристични матрици 440
45.3. Жорданова нормална форма на матрица 445
45.4. Жорданова нормална форма на линейни преобразувания 448
Упражнения 449
§46. Минимални полиноми на матрици 449
46.1. Съществуване на минимален полином на дадена матрица 449
46.2. Пресмятане на матрични стойности на полиноми 451
Упражнения 456
Глава 10. Елементи от теорията на модулите 457
§47. Модули над комутативен пръстен 457
47.1. Определение на понятието модул 457
47.2. Хомоморфизъм и изоморфизъм на модули 459
47.2. Подмодули 459
47.3. Директни суми на модули 459
Упражнения 462
§48. Фактор-модули и основна теорема за хомоморфизмите 462
48.1. Фактор-модули 462
48.2. Хомоморфизми на модули 463
Упражнения 464
§49. Крайно породени модули над област на главни идеали 465
49.1. Анулатори на елементи от даден модул 465
49.2. Неразложими циклични модули над област на главни идеали 467
49.3. Разложнми циклични модули 468
49.4. Структурна теорема за крайно породените модули над област на главни
идеали 470
Упражнения 475
Глава 11. Елементи от теорията на алгебрите 476
§50. Асоциативни алгебри над поле 476
50.1. Определение и примери за Р-алгебри 476
50.2. Структурни константи 478
50.3. Подалгебри 480
50.4. Идеали на алгебри *• • • • -482
50.5. Фактор-алгебри 484
50.6. Изоморфизъм на алгебри ] 484
50.7. Хомоморфизъм на алгебри 486
Упражнения 487
§51. Асоциативни алгебри с деление 488
51.1. Тела 488
51.2. Тяло на кватернионите 490
51.3. Крайни тела 493
Упражнения 498
§52. Крайномерни реални алгебри с деление
